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                斐波拉契的兔子

                來源:科學揭秘 作者:小慧 數學故事 > 時間:2018-04-06 17:49:48

                從前,有一個窮光棍,平時只知好吃懶做,不肯踏踏實實做事情,還經常想入非非做發財夢。

                一天,他在路邊撿到一個雞蛋,他非常高興,捧著雞蛋就在腦子里就盤算開了:“我借別人的母雞把這個蛋孵成小雞,等小雞長大了,就可以生蛋,我再把生的蛋孵成雞,這些雞又可以生更多的蛋,蛋又可變成更多的雞……過不了幾年,我就可以把蛋和雞去換許多錢,然后可以蓋新房,還可以娶個漂亮媳婦,生兒育女……”

                他越想越高興,不禁得意忘形手舞足蹈,忽聽“啪”的一聲,雞蛋掉在地上,碎了!懶漢看著摔碎了的雞蛋,放聲痛哭:“哎呀,我的寶貝!我的房子呀!……”

                上面這則笑話流傳已久,對我們很有教育意義,然而恐怕誰都沒有認真計算過:如果雞蛋沒有打碎,幾年后這個懶漢究竟有多少只雞,多少個蛋呢?

                不過,公元1202年,一位意大利比薩的商人斐波拉契(約1170~1250年)在他的《算盤全書》(這里的“算盤”指的是計算用沙盤)中提出過一個“養兔問題”,卻被無數人算過。這道題說的是:

                某人買回一對小兔,一個月后小兔長成大兔。再過一個月,大兔生了一對小兔,以后,每對大兔每月都生一對小兔,小兔一個月后長成大兔。如此下去,問一年后此人共有多少對兔子

                你能算清嗎?不少同學恐怕看完題就已經動手算了,而且很快就算出了答案。不過對不對可不敢保證。說實在的,這題要算對并不那么容易,這可要不慌不忙細心地算才行。

                通常可以列一個表來算這個題:

                填了幾行后,你就可以總結出幾條結論:

                (1)每個月的大兔子數就是上個月的兔子總數。(因上個月的小兔這個月都長成大兔)(2)每個月的小兔子數就是上個月的大兔數。(因上月大兔子這個月都需生一對小兔,而上個月的小兔這個月長成大兔但不生兔子。)由(1)可知:每月小兔數就是前月的兔子總數。

                (3)每月兔子總數是當月大、小兔子數的和。由(1)、(2)知每月兔子數就等于上月與前月這兩個月兔子數的和。

                若記第n個月的兔子數為fn,就有

                f0+f1=f2,f1+f2=f3,f2+f3=f4……

                一般的,有fn-2+fn-1=fn。有了這個規律,填這個表就很容易了。

                你看,養一對兔子,一年之后就會發展壯大成了一個養兔場了。

                按這個規律,可以把兔子數一直寫下去:

                1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610……這樣得出的一列數就稱為“斐波拉契數列。”

                波蘭數學家史坦因豪斯在其名著《數學萬花筒》中提出一個問題:

                一棵樹一年后長出一條新枝,新枝隔一年后成為老枝,老枝又可每年長出一條新枝,如此下去,十年后新枝將有多少?

                這恰好也可以得到“斐波那契數”。

                人們從“斐”數出發得到了很多有益的和有趣的結果。比如“斐”數與黃金分割(0.618)的關系,直到現在還在優選法和運輸調度理論中起著基本原理的作用;又如種向日葵的農場主在葵花籽的分布規律上發現了“斐”數,乃至好多植物的花瓣葉序上發現的“斐”數奇觀形成了至今未解的“葉序之迷”。可見一個“養兔問題”竟揭示了大自然的一個普遍存在的奧秘。

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